# An introduction to potential theory by Nicolaas Du Plessis

By Nicolaas Du Plessis

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12), nennt man ihn axial. 4. Wir vermerken noch, dass die kartesischen Koordinaten eines Vektors nur von der Basis des gewählten Koordinatensystems abhängen, die Koordinaten eines Ortsvektors auch von seinem Ursprung. Ortsvektoren sind also keine Vektoren im Sinne der obigen Deﬁnition, wohl aber die Differenz zweier Ortsvektoren, geometrisch die gerichtete Strecke von einem Punkt zu einem anderen, vgl. 11). 1 Tensoren Tensoren zweiter Stufe 1. 13) die Koordinaten Ai eines anderen Vektors A zuordnet.

H. 59) eine orthogonale Matrix, es gilt also αik α jk = δi j , αki αk j = δi j . 6) Diese beiden gleichwertigen Beziehungen nennt man Orthogonalitätsrelationen. 4. 60) gilt für orthogonale Matrizen det α = ±1 . 7) Um diese beiden Fälle anschaulich zu unterscheiden, nehmen wir zunächst an, dass beide Koordinatensysteme dieselbe Orientierung haben, also entweder beide Rechtssysteme oder beide Linkssysteme sind; dann kann man das eine durch eine Bewegung in das andere überführen. Wenn wir eine Koordinatentransformation als eine solche Bewegung auffassen, dann gehört zu jedem Zeitpunkt t zwischen dem Anfangszeitpunkt t0 und dem Endzeitpunkt t1 , wo beide Koordinatensysteme zusammenfallen, also zu allen t mit t0 t t1 , eine Transformationsmatrix αi j (t), und diese Matrizen und folglich auch ihre Determinanten bilden eine stetige Funktion in t.

1 j δ2 j ... δ1k δ2k = δMi δM j . . δMk δi1 δi2 . . δiM δ j1 δ j2 . . δ jM .. . 25) δk1 δk2 . . δkM 3. r = δi1 δi2 . . δiM δ j1 δ j2 . . δ jM .. δk1 δk2 . . δkM δ1p δ2p .. δ1q δ2q ... δ1r δ2r , δM p δMq . . 13) für Determinanten folgt für das linke obere Element der Produktdeterminante δi1 δ1p + δi2 δ2p + · · · + δiM δM p = δim δmp = δip . r = δip δiq . . δir δ jp δ jq . . δ jr .. δkp δkq . . r = δip δiq . . δir δ jp δ jq . . δ jr .. δkp δkq . . δkr . q δkp . 19) folgt daraus δ pq δ p1 δ p2 .